Sofizmaty, czyli sztuka odwracania kota ogonem

Na blogu Matematyczy Nerd w dziale Ciekawostki znalazły się cztery tzw. sofizmaty. Są to twierdzenia (a właściwie hipotezy) w oczywisty sposób absurdalne, ale „dowody” ich „prawdziwości” są przeprowadzone tak, że pozornie wydaje się, że dowód jest prawidłowy. Wydaje się, więc, że to co zawsze było oczywiste na pozór wcale takie nie jest. Post ten jest demaskacją tych matematycznych sofizmatów z tego bloga. Kieruję go głównie do uczniów, ale także i innych osób. Chodzi o to, aby nie dały się zwieść i nie przedstawiały komuś takich „dowodów” i uniknęły kompromitacji.
Moje komentarze demaskujące te „dowody” na ww. blogu nie ukazały się. Dlatego sprawę poruszam u siebie.

Pierwszy sofizmat – Każda liczba jest równa swojej połowie.
https://matematycznynerd.blogspot.com/2015/08/kazda-liczba-jest-rowna-swojej-poowie.html

Nie wierzycie to popatrzcie.
Wiadomo ze wzorów skróconego mnożenia, że
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Równość ta jest też prawdziwa, gdy a = b otrzymujemy
(a + a)(a – a) = a2 – a2
(a + a)(a – a) =a(a – a) / : (a – a)
a + a = a
2a = a / : 2
a = ½ a
Proste prawda


Niby tak, ale jest tu pewien szulerski trik. Dzielenie przez (a-a) to dzielenie przez zero, a to ja wiadomo jest niewykonalne. Mamy zatem:
(a+a)(a-a) = a(a-a), czyli 2a*0 = a*0 lub jak kto woli 0=0. Każda liczba rzeczywista pomnożona przez 0 daje 0, więc to niczego nie dowodzi.
Mamy tu jeszcze jedną oczywistą sprzeczność. Jeżeli nawet „zapomnimy” o dzieleniu przez 0 i dojdziemy do równości 2a = a, to jak podzielimy obie strony tej równości przez a (przyjmując, że a jest różne od 0), to otrzymamy sprzeczność: 2 = 1. To dowodzi, że tylko dla a = 0 równość 2a = a jest spełniona.

Drugi sofizmat: Zero jest większe od każdej liczby https://matematycznynerd.blogspot.com/2015/08/zero-jest-wieksze-od-kazdej-liczby.html

Weźmy dowolną liczbę dodatnią x. Zauważmy, że
x > x – 1   / ×(-x)
-x2 > -x2 + x   / + x2
0 > x
Hmm pomimo, że x było dodatnie to jest mniejsze od zera, o rozwiązywaniu nierówności już wkrótce.


Gdzie tu jest szulerska sztuczka? Już na samym początku! Skoro x jest z założenia dowolną liczbą dodatnią, to liczba -x jest liczbą ujemną. A mnożąc obie strony nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak na przeciwny! Wynika to z tego, że np. 6 > 5, ale już -6 < -5. Tutaj w powyższym „dowodzie” po pomnożeniu przez liczbę ujemną (-x) znak nie został zmieniony. Gdyby został zmieniony tak jak powinien, to wyszłoby, że 0 < x, czyli x > 0 czyli tak jak nakazuje logika.

Trzeci sofizmat 1 = 0

Matematyka często przeplata się z życiem.
Wszyscy wiemy, że:
x ̸ x = 1
(przyp. WS: o ile x nie jest równe 0)
co może oznaczać, że każda dziewczyna dostanie dokładnie jeden pierścionek od chłopaka i stanie się narzeczoną.
Nie łudźcie się to się tylko w bajkach zdarza.
Znany też jest taki zapis:
x – x = 0
czyli, gdy facet zwieje, to nici z pierścionka.
Potraktujmy sprawę nieco szerzej.

Logiczne prawda.
Życie ma się jedno, za to możliwości nieskończenie wiele.
No, ale rozważamy dalej:

Acha i znów sprawdza sie w życiu:„….czymże jest człowiek w przyrodzie? Nicością wobec nieskończoności, wszystkim wobec nicości, pośrodkiem między niczym a wszystkim.“Blaise Pascal  – Myśli: część pierwsza: Człowiek bez 
Porównajmy oba równania:

Nie trzeba znać matematyki, by wiedzieć, że
1 = 0
Jedno piwo, to żadne piwo.

Jeden złoty, to żaden pieniądz.

Życzę Wam dalszych owocnych rozważań.

Acha mam nadzieję, że wiecie gdzie są błędy.

To jest trochę bardziej skomplikowane niż poprzednie dwa sofizmaty, ale w sumie też dość proste.

Nieskończoność to wartość liczbowa większa od każdej istniejącej, a więc nieokreślona. Nieskończoność nieskończoności nie musi być równa. Zatem zapis dzielenia nieskończoności przez nieskończoność daje wynik nieokreślony, a nie 1. Jeśli jedna nieskończoność rośnie szybciej niż druga to wynik dzielenia będzie inny niż gdy ta druga nieskończoność rośnie szybciej niż pierwsza. Dla zobrazowania: funkcje y = x i y = x^3 mają zbiór wartości R, czyli nieskończony. Jednak poza x = 1 dla liczb dodatnich wartości drugiej funkcji rosną szybciej niż wartości pierwszej funkcji. Zatem pierwsza nieskończoność jest „mniejsza” od drugie, bo wolniej rośnie. Wynik ich dzielenia nie będzie więc równy 1.
Mamy tu też kolejny absurd – nieskończoność pomnożona przez 1 to nieskończoność, a nie 1. Tego chyba nie trzeba tłumaczyć.

Z tego samego powodu co wyżej odejmowanie dwóch nieskończoności dalej wyrażenie nieokreślone, a nie 0. Nieskończoność bowiem nieskończoności nie musi być równa, więc ich różnica wcale nie musi się równać 0.
I kolejna oczywista bzdura – nieskończoność + 0 to nieskończoność, a nie 0.

Zatem ustaliliśmy, że nieskończoność jest różna od 0 i różna od 1. Zatem „dowód”, że 1 = 0 jest fałszywy, bo 1 jest oczywiście różne od 0.

Czwarty sofizmat : wszystkie liczby są sobie równe
https://matematycznynerd.blogspot.com/2015/08/wszystkie-liczby-sa-sobie-rowne.html

To prawda oczywista, nie wierzycie oto prosty dowód.
Mamy dwie liczby x i y, gdzie x > y
Pomiędzy tymi liczbami zachodzi zatem zależność
x – y = z
x = z + y
Pomnożymy obie strony przez x – y
x×(x – y) = (z + y)(x – y)
x2 – xy = zx + yx – y2 – yz   / – zx
x2 – xy – zx = yx – y2 – yz
x(x –y –z) = y (x –y – z)     / : (x –y – z)
x = y
Czyli rzeczywiście pomimo, że x > y to obie liczby są sobie równe.


Tu jest ta sama szulerska sztuczka, co w pierwszym sofizmacie, czyli dzielenie przez 0. Jeżeli x > y i w związku z tym istnieje liczba z taka, że x – y = z, to x-y-z = 0. Zatem dzielenie przez (x-y-z) jest dzieleniem przez 0. Jest to niewykonalne. Zatem zapis
x(x-y-z) = y(x-y-z) jest równoważny zapisowi x*0 = y*0, czyli 0=0. Zatem x i y mogą być dowolnym liczbami rzeczywistymi, więc x może być równe y, ale równie dobrze x może być różne od y. Jak wynika z powyższego ten „dowód” niczego nie dowodzi.

Blog ten jest mimo to ciekawy, bo jest tam np. dział o nazwie Matematyka Wedyjska, gdzie są interesujące rzeczy.