Wedyjska matematyka, czyli człowiek prawie jak kalkulator!

Wpis ten dedykuję w szczególności dorosłym czytelnikom mającym dzieci w szkole podstawowej lub średniej oraz uczniom właśnie szkół podstawowych i średnich. Pomoże on w bardzo szybkim mnożeniu dużych liczb oraz podnoszeniu liczb dwu- i trzycyfrowych do kwadratu. Nauczyciel będzie zapewne mocno zdziwiony tak błyskawicznym liczeniem bez kalkulatora i będzie zapewne chciał wiedzieć jak. Chyba, że wyjątkowo trafi się na takiego nauczyciela co zna te metody, ale to mało prawdopodobne. Będzie też krótko o historii. Przechodzimy więc do rzeczy.

Najpierw krótki wstęp. Jak wiemy współczesna metoda mnożenia pisemnego pod kreską jakiej uczą w szkołach jest żmudna, zajmuje sporo czasu i wielu uczniom sprawia kłopot. To sprawia, że matematyka wydaje się im trudna i nie lubią tego przedmiotu. Jednak tak być wcale nie musi. Poniżej przedstawione metody pochodzą z wed, czyli hinduskich świętych ksiąg spisanych ok. 1500 lat p.n.e, a wcześniej przekazywanych ustnie. Opisał je Sri Bharati Krsna Tirthaj hinduski matematyk i historyk znający dobrze sanskryt (bo takim językiem spisano Wedy).

Teraz będzie nieco historii. Otóż z badań genetycznych jakie w Polsce przeprowadzono wynika, że my jako Sławianie o haplogrupie R1A1 zamieszkujemy obszar między Wisłą i Odrą od co najmniej 10000 lat. Ustalono również, że najwyższa kasta w Indiach – bramini również mają haplogrupę R1A1 w odróżnieniu od innych kast. Z tego wynika prosty wniosek, że te hinduskie Wedy są to po prostu nasze prasławiańskie wedy, które nasi praprzodkowie migrując do Azji przekazali w dobrej wierze przodkom dzisiejszych Hindusów. Potwierdzeniem tego jest fakt, że sanskryt i język polski mają wiele bardzo podobnych słów. Przykładowo (polski) – sanskryt: brat – bratr, żona – żani, dom – dam, matka – mati, czy wulgarne j..ć – jebati. Ponieważ ma być tylko nieco o historii to zainteresowanych szerszym zgłębieniem podobieństwa języka polskiego i sanskrytu odsyłam tutaj: http://wspanialarzeczpospolita.pl/2014/11/18/samskrta-sloveniska/
Zatem o tych metodach powinno się mówić, że są to nasze starożytne metody obliczeń w matematyce.
Jeszcze kilka zdań o Sri Bharati Krsna Tirthaju. Żył w latach 1884-1960 i badał Wedy gdyż znał dobrze sanskryt. Na podstawie Wed ustalił 16 sutr czyli zasad za pomocą których można bardzo szybko policzyć niemal wszystko. Jedna z tych sutr dotyczyła (uwaga!) rachunku różniczkowego! A według oficjalnej matematyki rzekomo dopiero Newton i bodajże Leibnitz (jeśli mnie pamięć nie myli) wprowadzili w XVII wieku rachunek różniczkowy czyli obliczanie pochodnych funkcji i rozwiązywanie równań różniczkowych (czyli takich gdzie niewiadoma jest też pochodną np. dy/dx = 3xy). Wydał 16 tomów z których każdy opisywał jedną sutrę. Wszystkie one w dziwny sposób zaginęły (!?). Zapewne były niewygodne. Gdyby ludzie poznali powszechnie te metody wówczas matematyka przestałaby dla większości ludzi być „czarną magią” i różni lichwiarze i inni oszuści bazujący na ludzkiej niewiedzy musieliby zwinąć swój „interes”. Poniższe przykłady metod z Wed pokażą, że tak zapewne by było. Jednak Pan Sri Bharati Krsna Tirthaju niedługo przed śmiercią odtworzył z pamięci część treści tych tomów swojemu sekretarzowi, a ten to spisał. Zostało to wydane później jako książka pt. „Matematyka wedyjska” w 1965 r. Dobra wiadomość jest taka, że ta książka już nie zaginęła. Gorsza jest taka, że do dziś nie ma polskiej wersji językowej.

Przejdźmy zatem do konkretów. Jako pierwszy będzie przykład bardzo prostego mnożenia liczb jedno- lub dwucyfrowych przez 99 czy dwu- lub trzycyfrowych przez 999. Metoda jest bardzo prosta i wynik mamy błyskawicznie. Chyba mniej więcej w czasie jaki zajęłoby w bicie liczb w kalkulator i zapisanie wyniku.
Metoda polega na tym, że od liczby mnożonej przez 99 czy 999 odejmujemy 1 i a następnie otrzymaną liczbę odejmujemy od 99 czy 999. Składamy otrzymane wyniki razem od lewej do prawej i mamy wynik mnożenia!

Przykłady:

27*99 = 2673; 27- 1 = 26; 99-26 = 73; 26/73 –> 2673
275*999 = 274725; 275-1 = 274; 999-274 = 725; 274/725 –> 274725
32*999 = 31968; 32-1 = 31; 999-31 = 968 ; 31/968 –>31968
8*99 = 792; 8-1 = 7; 99-7 = 92; 7/92 –>792

Druga metoda pozwala na obliczanie iloczynów liczb dwucyfrowych bliskich 100 (w granicach 80-99). Polega ona na tym że obliczamy dopełnienia czynników iloczynu do 100 następnie po jednej przekątnej liczby odejmujemy, po czym mnożymy dopełnienia. Wyniki obu operacji zestawiamy razem od lewej do prawej mając końcowy wynik.

Pzykłady:

95 * 92 = 8740 92-5 = 87; 5*8 = 40 87/40 –>8740
5 8 –> dopełnienia do 100

93*87 = 8091 87-7 = 80; 7*13 = 91; 80/91 –> 8091
7 13 –> dopełnienia do 100

Gdy iloczyn dopełnień jest liczbą dwucyfrową to dopisujemy do niego z przodu 0:
96*98 = 9408; 98-4 = 94; 4*2 = 8 => 08; 94/08 –>9408
4 2 –> dopełnienia do 100
Minimalnie trudniej jest gdy iloczyn dopełnień jest liczbą trzycyfrową. Wtedy cyfrę setek iloczynu dopełnień dodajemy do liczby będącej wynikiem pierwszej operacji
87*88 = 7656; 88-13 = 75; 13*12 = 156; 75/156 => 75+1/56 =>76/56 –> 7656
13 12 –>dopełnienia do 100

Teraz banalnie prosta metoda mnożenia liczby dwucyfrowej przez 11. Sumuje się cyfry w tej liczbie i sumę wstawia w jej środek. Przykłady:
13*11 = 1(1+3)3 = 143
27*11 = 2(2+7)7 = 297
Jeśli suma będzie większa od 10 to robimy nieco inaczej. Cyfrę dziesiątek sumy dodajemy do cyfry dziesiątek liczby którą mnożymy przez 11, a reszta jak poprzednio.
67*11 = 6(6+7)7 = 6(13)7= (6+1)37 = 737
89*11 = 8(8+9)9 = 8(17)9 = (8+1)79 = 979

Teraz podam metodę obliczania iloczynu dowolnych liczb dwucyfrowych. Jest ona szybka i prosta i w większości przypadków przy pewnej wprawie zajmuje ok. 10 sekund. Oznaczmy pierwszą liczbę dwucyfrową jako AB, a drugą jako CD. Najlepiej zapisać jedną liczbę pod drugą jak przy pisemnym mnożeniu. Mnożenie robimy wykorzystując sutrę: prosto i na krzyż. Całość składa się z 3 etapów. I etap mnożenie cyfr jedności (B*D), II etap: mnożenie na krzyż cyfr jedności i dziesiątek w obu liczbach i dodawanie iloczynów + dodanie pamięci (A*D + B*C + P), III etap: mnożenie cyfr dziesiątek + pamięć (A*C + P). Jeśli na danym etapie wyjdzie liczba dwucyfrowa to cyfra jedności jest jednocześnie odpowiednią cyfrą iloczynu AB*CD: w I etapie cyfrą jedności, w II etapie cyfrą dziesiątek, a w III etapie cyfrą setek. Cyfra dziesiątek z wyniku z danego etapu stanowi pamięć i dodajemy ją do wyniku następnego etapu itd.

Zacznijmy od iloczynu dopełnień z ostatniego przykładu tj. 12*13. I etap 2*3 = 6, II etap: 1*3+1*2 = 5, III etap: 1*1 = 1. Wynik to 156.

72*56: I etap: 2*6 = 12, 1 idzie do pamięci; II etap: 7*6+5*2 + 1 (pamięć) = 53, 5 idzie do pamięci; III etap: 7*5 + 5 (pamięć) = 40. Wynik to 4032.

Oczywiście nie musimy pisać tego wszystkiego. Zrobiłem to tutaj tylko po to, aby pokazać jak to liczyć i jak ustalać wynik. Normalnie gdy zna się schemat to można robić to wszystko w głowie, bo na każdym etapie mamy wynik będący liczną jedno- lub dwucyfrową.

Teraz przejdźmy do mnożenia liczb trzycyfrowych. Robi się to w analogiczny sposób jak mnożenie liczb dwucyfrowych tyle, że mamy 5 etapów zamiast trzech. Dla iloczynu liczb symbolicznie oznaczonych ABC * DEF mamy takie etapy:
I – mnożenie cyfr jedności tj. C*F;
II – mnożenie na krzyż cyfr jedności i dziesiątek w obu liczbach, tj. B*F + C*E
III – mnożenie na krzyż cyfr setek i jedności oraz w pionie cyfr dziesiątek w obu liczbach, tj. A*F + C*D + B*E;
IV – mnożenie cyfr setek i dziesiątek w obu liczbach, tj. A*E + B*D;
V – mnożenie cyfr setek w obu liczbach, tj. A*D
W każdym etapie stosujemy regułę z przenoszeniem cyfry dziesiątek wyniku z danego etapu do następnego i dodawanie jej tam na końcu. Wynik złożony z cyfr jedności wyników etapów i liczby z 5 etapu też czytamy od prawej do lewej.

Przykład: 123*456
123 I): 3*6 = 18, 1 do pamięci; II) 2*6 + 3*5 + 1 (pamięć) = 28, a 2 do pamięci; III) 1*6 456 + 3*4 + 2*5 + 2 (pamięć) = 30, 3 do pamięci; IV) 1*5 + 2*4 + 3 (pamięć) = 16, 1 do pamięci; V) 1*4 + 1 (pamięć) = 5
Wynik to 56088. Oczywiście też nie musimy tego wszystkiego pisać tylko większość albo i wszystko przy dużej wprawie obliczać w pamięci.

Powyższe metody mnożenia można stosować także do ułamków dziesiętnych robiąc modyfikację taką jak przy mnożeniu pisemnym pod kreską na końcu. Gdybyśmy np. mieli policzyć iloczyn 1,23*45,6 to metodą mnożenia liczb trzycyfrowych (bez przecinków) otrzymamy 56088 i potem uwzględniamy 3 miejsca po przecinku licząc od tyłu (suma miejsc po przecinku w obu liczbach) i uzyskujemy, że 1,23*45,6 = 56,088.

Teraz stopień trudności trochę wzrośnie, bo będzie przedstawiona metoda mnożenia liczb czterocyfrowych. Jest ona analogiczna do poprzednich jednak etapów jest tu aż 7. Dla symbolicznego iloczynu ABCD*EFGH mamy:
I – iloczyn cyfr jedności, tj. D*H;
II – suma iloczynów cyfr dziesiątek i jedności, tj. C*H + D*G;
III – suma iloczynów cyfr setek i jedności oraz cyfr dziesiątek: B*H + D*F + C*G;
IV – suma iloczynów cyfr tysięcy i jedności oraz cyfr setek i dziesiątek, tj. A*H + D*E + B*G + C*F;
V – suma iloczynów cyfr tysięcy i dziesiątek oraz cyfr setek, tj. A*G + C*E + B*F;
VI – suma iloczynów cyfr tysięcy i setek, tj. A*F + B*E;
VII – iloczyn cyfr tysięcy, tj. A*E.
W każdym z etapów II-VII dodajemy także pamięć (jeśli jest) i ustalamy wynik od prawej do lewej jak poprzednio.

Przykład: 2513*4362
2513 I): 3*2 = 6; II): 1*2 + 3*6 = 20, 2 do pamięci; III): 5*2 + 3*3 + 1*6 = 27, 2 – pamięć
4362 IV): 2*2 + 3*4 + 5*6 + 1*3 + 2 (pamięć) = 51, 5 do pamięci;
V): 2*6 + 1*4 + 5*3 + 5 (pamięć) = 36, 3 do pamięci;
VI): 2*3 + 5*4 + 3 (pamięć) = 29, 2 do pamięci; VII): 2*4 + 2 (pamięć) = 10
Uzyskany wynik to 10961706.

Teraz przedstawię moją autorską metodę mnożenia liczb pięciocyfrowych. Składa się ona z 9 etapów. Wydedukowałem ją przez analogię do mnożenia liczb czterocyfrowych, trzycyfrowych i dwucyfrowych. Prawdopodobnie w Wedach też była, ale ja nigdzie jej w żadnych materiałach nie znalazłem. W każdym razie sprawdziłem ją na jednym przykładzie i działa. Wynik mnożenia ma 9 cyfr. Jeśli ktoś zna choć trochę rachunek prawdopodobieństwa to będzie wiedział, że szansa na to, że moja metoda jest błędna jest minimalna. Jako przykład to popierający weźmy możliwą ilość liczb 9-cyfrowych złożonych z 7 różnych cyfr gdzie dwie z tych 7 cyfr występują po 2 razy. 7 cyfr na 7 miejscach możemy rozmieścić na 7! sposobów, a pozostałe dwie cyfry występujące drugi raz na pozostałych dwóch miejscach na 2! sposobów . Zatem takich liczb jest 7!*2!, czyli 1*2*3*4*5*6*7*1*2 = 10080. Szansa, że trafimy przypadkiem na akurat tę jedną właściwą z 10080 takich liczb wynosi 1/10080 czyli około 0,0000992. Daje to nam przypadkowość o prawdopodobieństwie 0,00992%. Zatem prawdopodobieństwo, że nie jest to przypadek wynosi ok. 99,99%.
Dlaczego akurat taki przykład? Wynik mnożenia które zrobiłem poniżej ma właśnie 7 różnych cyfr na 9 miejscach i 2 z tych siedmiu cyfr występują dwukrotnie.

Krótko już bez dokładnego opisywania przedstawię etapy. Sposób postępowania z pamięcią i ustalaniem kolejnych cyfr wyniku końcowego mnożenia jak wcześniej dla mnożenia liczb dwu-, trzy- i czterocyfrowych. (P) – oznacza pamięć.

ABCDE * FGHIJ:

I) E*J;
II) D*J + E*I;
III) C*J + H*E + D*I;
IV) B*J + G*E + C*I + D*H;
V) A*J + E*F + B*I + D*G + C*H;
VI) A*I + D*F + B*H + C*G;
VII) A*H + C*F + B*G;
VIII) A*G + B*F;
IX) A*F

52123*12613 = 657427399

I): 3*3 = 9
II) 2*3+3*1 = 9
III) 1*3 + 3*6 + 2*1 = 23, 2 –> (P);
IV) 2*3 + 3*2 + 2*6 + 1*1 + 2(P) = 27, 2 –> P
V) 5*3 + 3*1 + 2*1 + 2*2+ 1*6 + 2(P) = 32, 3 –> P
VI) 5*1 + 2*1 + 2*6 + 1*2 + 2(P) = 24, 2 –> P
VII) 5*6 + 1*1 + 2*2 + 2(P) = 37, 3 –> P
VIII) 5*2 + 2*1 + 3(P) = 15, 1 –> P
IX) 5*1 + 1 (P) = 6

A co gdybyśmy chcieli pomnożyć np. liczbę czterocyfrową przez dwucyfrową? Żaden to problem. Po prostu wystarczy do liczby dwucyfrowej dopisać z przodu dwa zera i mnożyć według metody mnożenia liczb czterocyfrowych, tj. w postaci ABCD * 00GH Analogicznie dla mnożenia liczby trzycyfrowej przez dwucyfrową: ABC *0EF itd. W tym drugim przypadku np. gdy pomnożymy 96 przez 125 zapisując liczby jako 096*125 uzyskamy metodą mnożenia liczb trzycyfrowych wynik 12000. Kto nie wierzy niech sprawdzi licząc według tej metody, a potem na kalkulatorze.

Teraz jeszcze trochę o obliczaniu kwadratu liczby dwu i trzycyfrowej, czyli jej drugiej potęgi. Są tu co najmniej dwie metody. Jedna ogólna do wszystkich liczb, a druga dla liczb kończących się na 5.

Najpierw przedstawię tę drugą, bo jest bardzo prosta. Najpierw dla liczb dwucyfrowych, bo to jest banalnie proste. Wykorzystujemy tutaj sutrę: przez o jeden więcej niż poprzednia. Cyfrę dziesiątek (to jest ta poprzednia) mnożymy przez liczbę o 1 od niej większą. Do tak powstałego iloczynu dopisujemy po prawej kwadrat 5 czyli 25. I tyle.
Przykłady: 15^2: 1*2 = 2, czyli 15^2 = 225; 25^2: 2*3 = 6, więc 25^2 = 625;
45^2: 4*5 = 20, więc 45^2 = 2025; 85*85 = 7225, bo 8*9 = 72.
Dla liczb trzycyfrowych działa to tak samo. Np. 125^2 = 15625, bo 12*13 = 156; 285^2 = 81225, bo 28*29 = 812, 765^2 = 585225, bo 76*77 = 5852. Oczywiście mnożenie liczb dwucyfrowych robimy poznaną wcześniej metodą. Jest to trochę dłuższe, ale i tak zajmuje mniej czasu niż mnożenie pod kreską.
Dla liczb czterocyfrowych to już nie działa, bo np. 1255^2 = 1575025, a według powyższej metody wyszłoby 1562525.

Teraz metoda ogólna do obliczania kwadratów dowolnych liczb dwu- lub trzycyfrowych. Do liczby potęgowanej dodajemy jej cyfrę jedności. Następnie mnożymy tę sumę przez liczbę potęgowaną zaokrągloną do pełnych dziesiątek w dół i dodajemy na koniec kwadrat cyfry jedności liczby potęgowanej. Schematycznie dla liczb dwucyfrowych:

AB^2 = (AB + B)*A0 + B^2

Przykłady: 26^2 = (26+6)*20 + 6^2 = 32*20 + 36 = 640 + 36 = 676
48^2 = (48+8)*40 + 8^2 = 56*40 + 64 = 2240 + 64 = 2304
73^2 = (73+3)*70 + 3^2 = 76*70 + 9 = 5329

Dla liczb trzycyfrowych jest analogiczny schemat obliczeń:

ABC^2 = (ABC + C)*AB0 + C^2

Np. 124^2 = (124+4)*120 + 4^2 = 128*120 + 16 = 15360+16 = 15376
243^2 = (243+3)*240 + 3^2 = 246*240 + 9 = 59040 + 9 = 59049

Jak się okazuje w Wedach był też podany sposób na obliczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb naturalnych niemniejszych niż 100. Jest on dość długi. Zważywszy na to jednak, że w szkole nie uczą żadnego sposobu obliczania takich pierwiastków to nawet ten algorytm jest dobry. Zainteresowani znajdą link poniżej do bloga gdzie autor pokazał te metody. Jest tam też podany sposób na dzielenie przez 9, 99, 999 i 98 metodą wedyjską.

Jak widzimy z powyższych metod znajomość reguły prosto i na krzyż pozwala nam policzyć bardzo wiele szybko bez kalkulatora, a dla liczb dwu- i może też trzycyfrowych ich iloczyny w ogóle w pamięci z ewentualnie zapisaniem na malutkiej karteczce liczb pod sobą. Reguła: przez o jeden większą niż poprzednia pozwala nam bardzo szybko obliczać kwadraty liczb dwu i trzycyfrowych zakończonych na 5.
I jak się to ma do szkolnej matematyki? Nijak. Pierwiastków policzyć bez kalkulatora w ogóle się tam nie da, mnożenia pod kreską zaś są żmudne i łatwo się pomylić jak się niestarannie napisze i pomyli rzędy wielkości. Tutaj ten problem w ogóle nie występuje, bo jedyne co się pisze pod sobą to liczby (choć i to nie jest konieczne, ale ułatwia rachunki).

Źródła:
Magazyn Nexus Nr 33/2019
https://bacologia.wordpress.com/2019/05/28/slowiano-aryjska-matematyka/
https://matematycznynerd.blogspot.com/p/matematyka-wedyjska.html – tu są podane metody obliczania pierwiastków kwadratowych i sześciennych (drugiego i trzeciego stopnia)
http://www.zsi.slupsk.pl/files/uczen_zdolny/matematyka_wedyjska.pdf (moja uwaga – uczeń mało zdolny też opanuje te metody i będzie liczył szybciej niż szkolnymi metodami choć na pewno wolniej niż uczeń zdolny).

Propozycja zadań do rozwiązania samodzielnie i sprawdzenia obliczeń na kalkulatorze:

1. Obliczyć iloczyny liczb dwucyfrowych według dowolnej wedyjskiej metody: 18*25, 34*52, 63*28, 84*11
2. Obliczyć iloczyny liczb trzycyfrowych metodą wedyjską: 324*128; 928*254, 625*240
3. Obliczyć metodą wedyjską: 32,9*56
4. Obliczyć metodą wedyjską kwadraty liczb: 325, 68, 75, 54, 37, 102
5. (Dla ambitnych): obliczyć metodą wedyjską: 1324*5637
6. (Dla bardzo ambitnych): obliczyć metodą wedyjską: 25647*32672